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我们先一步步推理。
1. 题意理解
题目说“已知平行四边形的面积为 20，求圆的面积”，但没有给出图形。
常见的这类题型是：圆与平行四边形相切或内接，例如平行四边形是圆的外切四边形（且可能是矩形或菱形），或者平行四边形由圆的某些弦构成。
一种常见情况是：平行四边形的两条边与圆相切，另外两条边是圆的直径所在的直线构成，但更常见的一种是：
平行四边形是圆的外切平行四边形（即圆是平行四边形的内切圆），此时平行四边形是菱形。
2. 假设图形结构
假设这个平行四边形是菱形，并且有一个内切圆。
因为只有菱形（或正方形）才有内切圆（四边都与圆相切）。
设圆的半径为
�
r，则内切圆直径
2
�
2r 等于菱形的高。
3. 菱形面积与内切圆半径的关系
设菱形边长为
�
a，内切圆半径
�
r 与边长和高
ℎ
h 的关系：
对于菱形，内切圆半径
�
r 满足：
面积
=
�
⋅
ℎ
=
�
⋅
(
2
�
)
？
面积=a⋅h=a⋅(2r)？
等一下，这里要小心：菱形的高
ℎ
h 是从一边到对边的垂直距离，并且因为内切圆直径
2
�
2r 等于高
ℎ
h，所以：
ℎ
=
2
�
h=2r
那么菱形面积：
�
菱形
=
�
⋅
ℎ
=
�
⋅
(
2
�
)
S
菱形
=a⋅h=a⋅(2r)
又因为菱形面积也可以用对角线
�
1
,
�
2
d
1
,d
2
表示：
�
=
1
2
�
1
�
2
S=
2
1
d
1
d
2
但这里用边长与高更方便。
4. 另一个关系（菱形边长与内切圆半径）
对于菱形，内切圆半径公式：
�
=
�
菱形
2
�
r=
2a
S
菱形
因为
�
菱形
=
�
⋅
ℎ
S
菱形
=a⋅h，且
ℎ
=
2
�
h=2r，代入：
�
菱形
=
�
⋅
(
2
�
)
⇒
20
=
2
�
�
⇒
�
�
=
10
S
菱形
=a⋅(2r)⇒20=2ar⇒ar=10
又因为内切圆半径与边长的关系在菱形里还和锐角有关，但这里没有给角，所以可能默认是正方形？
5. 假设是正方形（特殊的菱形）
正方形边长
�
a，内切圆半径
�
=
�
/
2
r=a/2。
正方形面积
�
2
=
20
a
2
=20，所以
�
=
20
=
2
5
a=
20
=2
5
。
那么
�
=
�
/
2
=
5
r=a/2=
5
。
圆面积：
�
�
2
=
�
⋅
5
=
5
�
πr
2
=π⋅5=5π
这个结果很整齐。
6. 检查一般菱形情况
若只是一般菱形，已知面积
20
=
2
�
�
20=2ar，但
�
a 与
�
r 的关系还依赖于顶角
�
θ：
内切圆半径
�
=
�
sin
�
2
r=
2
asinθ
吗？ 不对，重新推导：
菱形面积
�
=
�
2
sin
�
S=a
2
sinθ（用两边与夹角）。
又因为高
ℎ
=
�
sin
�
=
2
�
h=asinθ=2r（因为内切圆直径等于高）。
所以
�
sin
�
=
2
�
asinθ=2r。
由
�
=
�
2
sin
�
=
20
S=a
2
sinθ=20 得：
�
2
sin
�
=
20
a
2
sinθ=20
又
�
sin
�
=
2
�
asinθ=2r 代入：
�
⋅
(
�
sin
�
)
=
�
⋅
(
2
�
)
=
20
a⋅(asinθ)=a⋅(2r)=20
即
2
�
�
=
20
⇒
�
�
=
10
2ar=20⇒ar=10。
同时
�
sin
�
=
2
�
asinθ=2r 代入
�
�
=
10
ar=10 得：
�
⋅
�
sin
�
�
=
?
r⋅
r
asinθ
=?
更直接：由
�
sin
�
=
2
�
asinθ=2r 和
�
�
=
10
ar=10 联立：
将
�
=
10
�
a=
r
10
代入
�
sin
�
=
2
�
asinθ=2r：
10
�
sin
�
=
2
�
⇒
10
sin
�
=
2
�
2
r
10
sinθ=2r⇒10sinθ=2r
2
�
2
=
5
sin
�
r
2
=5sinθ
圆面积
�
�
2
=
5
�
sin
�
πr
2
=5πsinθ。
由于
sin
�
≤
1
sinθ≤1，且平行四边形非退化，
sin
�
>
0
sinθ>0，但题目没给
�
θ，所以若答案是唯一确定的，必须
sin
�
=
1
sinθ=1，即
�
=
90
∘
θ=90
∘
（正方形）。
7. 结论
因此题目隐含条件是圆内切于平行四边形 ⇒ 平行四边形是菱形 ⇒ 若面积固定，圆最大当图形是正方形，常见考题取正方形情形，得：
圆面积
=
5
�
圆面积=5π
最终答案：
5
�
5π
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